Der Goldene Schnitt
Einleitung
Der Goldene Schnitt hat einiges mit den Verhältnissen in der Natur zu tun. Beispielsweise bestimmt der Goldene Schnitt das Aussehen eines Seesterns oder eines Efeublatts (siehe Grafik). Beim Efeublatt verhält sich Strecke a zu b wie der Goldene Schnitt. Was dies bedeutet wird in den folgenden Abschnitten genauer erklärt.
Es gibt auch noch andere Blätter wie das der wilden Heckenrose, wo man den Goldenen Schnitt auffindet. Auch bei den Verhältnissen beim menschlichen Körper ist der Goldene Schnitt zu finden (siehe folgende Grafik): Die Strecke vom Bauchnabel bis zum Kopf (grün 3) durch die Strecke vom Bauchnabel bis zum Boden (rot 3) entspricht der selben Zahl (Phi) wie die gesamte Körpergröße (grün 3+ rot 3) durch die größere Strecke vom Kopf bis zum Bauchnabel (grün 3). Das heißt der Bauchnabel eines Menschen markiert in der Regel den Goldenen Schnitt.
Dieses Zitat stammt von Euklid
(2. Buch „Elemente“, 11. Satz).
Damit wollte er den Goldenen Schnitt anders erklären bzw. das Problem anders darstellen. Er war der Meinung, dass eine Strecke genau da zu teilen sei (Goldener Schnitt S), so dass das Quadrat D, das daraus entstünde genau so groß sei wie das Rechteck E.
Ein Beispiel:
gegeben sind:a= 1 m
Φ =1,618
gesucht sind: b; c
Man fängt an mit folgenden Gleichungen:
Weiter gemacht wird nun mit der 2. Gleichung. Hier werden nun die Zahlen eingesetzt:
Das kann man nun so weit runden bzw. berechnen, dass man dieses Ergebnis erhält:
Nun kann man mit der 3. Gleichung weiter rechnen und die Zahlen einsetzen:
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Definition
Gegeben ist eine Strecke
.
Der Goldene Schnitt beschreibt das Verhältnis der beiden Abschnitte der geteilten Strecke a.
Der Punkt S der diese Strecke teilt, wird als Goldener Schnitt bezeichnet, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
In Worten gefasst meint dies, die große Strecke (b) ist zur kleinen Strecke(c), wie die große Strecke (b) zur gesamt Strecke (c).
Dies kann man auch so darstellen:
Stellt man diese Gleichung um, kommt die folgende Gleichung raus:
Löst man diese quadratische Gleichung, erhält man
und
.
Teilt man jetzt c durch b oder x durch a-x kommt man auf das gesuchte Verhältnis der Strecken:
Dieses Verhältnis nennt man Φ (sprich: Phi) oder die „Goldene Verhältniszahl“. Als Dezimalzahl stellt Φ ungefähr 1,618 dar.
Geschichte
„Eine gegebene Strecke ist so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.“
